Matemáticas en la música

                               Matemáticas en la música 

¿Hay Matemática en la Música? ¿Están relacionadas? ¿Qué relación existe entre la Música y la Matemática?
Hay desde luego similitudes innegables como que ambas tienen algo de mágico, son tan abstractas que parecen pertenecer a otro mundo y sin embargo tienen gran poder en este mundo, la música afecta al que escucha y las matemáticas tienen múltiples aplicaciones prácticas. Una parte de las matemáticas estudia los números, sus patrones y formas y estos elementos son inherentes a la ciencia, la composición y la ejecución de la música.
Leibniz describe a la Música como "un ejercicio inconsciente en la Aritmética". Esta afirmación quizás se podría justificar sobre la base de que el músico intérprete cuenta los tiempos del compás cuando comienza a estudiar una obra pero después de un tiempo de tocarla, ya no está contando conscientemente sino que deja fluir la magia de la Música. Sin embargo casi todos los "elementos externos" de la Música se definen numéricamente: 12 notas por octava; compás de 3/4, 7/8,...; 5 líneas en el pentagrama etc………
 
En la Edad Media la Música estaba agrupada con la Aritmética, la Geometría y la Astronomía en el Cuadrivio. La Música no se consideraba un arte en el sentido moderno sino una ciencia aliada con la Matemática y la Física (la Acústica). Matemáticas un poco más elevadas se utilizaron en el cálculo de intervalos, el cual requería el uso de logaritmos, y los problemas del temperamento requerían del uso de fracciones continuas.

La música está cargada de emociones, es alegre o triste, suave o agresiva, puede ser espiritual, estética, religiosa pero no podemos hablar de un teorema “triste” o de una demostración “agresiva”.
Tanto el matemático como el músico se encuentran ocupados resolviendo problemas o componiendo o interpretando, enseñando a alumnos sin detenerse a pensar que ambos están entregados a disciplinas que son paradigmas de lo abstracto.

En la época de los antiguos griegos, Pitágoras y los pitagóricos (siglo VI a.C) fueron los primeros en desarrollar una división del curriculum llamado quadrivium en donde la música se consideraba una disciplina matemática que manejaba relaciones de números, razones y proporciones. Esta división se mantuvo durante la Edad Media, por lo que era necesario el estudio de ambas disciplinas. El quadrivium (aritmética, música, geometría y astronomía), con el agregado del trívium (gramática, retórica y dialéctica), se convirtieron en las siete artes liberales, pero la posición de la música como un subconjunto de las matemáticas permaneció durante la Edad Media.
Las siete artes las dividían en “saberes exactos” (Quatrivium o Matemáticas) y “saberes humanos” (Trívium).




Se dice que Pitágoras acuñó la palabra matemáticas, que significa “lo que es aprendido”. Él describe un sistema de ideas que busca unificar los fenómenos del mundo físico y del mundo espiritual en términos de números, en particular, en términos de razones y proporciones de enteros. Se creía que, por ejemplo, las órbitas de los cuerpos celestiales que giraban alrededor de la Tierra producían sonidos que armonizaban entre sí dando lugar a un sonido bello al que nombraban “la música de las esferas”.

Relaciones entre sonidos
Así a partir de un sonido original obtenemos diferentes notas armoniosas. Haciendo un pequeño esquema nos aclararemos mejor: 
Nota Frecuencia Long. cuerda
Original F L
Octava justa 2f (1/2)L
Quinta mayor (3/2)f (2/3)L
Cuarta justa (4/3)f (3/4)L
Tercera mayor (5/4)f (4/5)L
Tercera menor (6/5)f (5/6)L
Si suponemos que la nota inicial es el do, entonces, la octava, quinta y cuarta son las notas: 
Nota base Cuarta Quinta Octava 
Do Fa Sol Do (1 octava más alta) 


Mozart, en 1777, a los escasos 21 años de edad, escribió un "Juego de Dados Musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición". Escribió 176 compases adecuadamente y los puso en dos tablas de 88 elementos cada una:


El juego comienza lanzando los dos dados, de tal manera que tenemos 11 números posibles (del 2 al 12) y hacemos 8 tiradas obteniendo distintos compases excepto los de la última columna que son iguales (éstos últimos con dos posibilidades: una para la repetición y otra para continuar con la segunda tabla. La segunda tabla es igual a la primera excepto que tiene otros 88 compases con los de la última columna idénticos.
Así, mediante un  cálculo, utilizando conceptos del Álgebra Superior, se tienen 1114 valses diferentes, es decir, aproximadamente 3.797498335832 (10e14) valses diferentes. Si se toca cada vals, con repetición de la primera parte, en 30 segundos, se requerirían de 30(11e14) segundos, es decir, 131, 857, 581,105 días aproximadamente, o bien, 361, 253,646 años aproximadamente en tocarlos todos uno tras de otro ininterrumpidamente. Es decir, un estreno mundial de una obra de Mozart cada 30 segundos a lo largo de ¡361 millones de años!

La matemática de la gimnasia

Cuando la gimnasia rítmica motiva a estudiar

Mucho se ha escrito en el mundo del deporte sobre motivación, y no hay lugar dudas cuando se afirma que un deportista rinde mucho más cuando trabaja motivado. Pues esto mismo se puede aplicar al campo de la enseñanza; cuando un estudiante trabaja con ilusión y motivación es más probable que tenga buenos resultados que si estudia con desgana.

Este ideal y sabiendo que una de mis alumnas es super seguidora de la gimnasia rítmica, decidí hace unos meses adaptar unos ejercicios de estadística y probabilidad para darle un toque "ritmiquero". No sé si será casualidad o no, pero este bloque de contenidos lo ha trabajado con muchísimas ganas y sus notas en matemáticas han subido sustancialmente. Prefiero no creer en la casualidad y sí en la motivación que despierta el ver que estudias algo que se puede aplicar a la vida real; o al menos, que después de darle muchas vueltas a la cabeza se puede relacionar con una gran afición.

Por si alguien tiene curiosidad en conocer cuáles han sido los ejercicios propuestos, os lo dejo a continucación.

Podemos observar en el video que estan incluyendo la Trigonométrica en la gimnasia

https://www.youtube.com/watch?v=wQvgPAgK0pw 

La matematicas de la MMA

A pesar de la violencia de la película (algo muy cuestionable en un ambiente académico), el final de la misma que muestra la reconciliación entre los dos hermanos la vuelve pertinente desde el punto de vista ético.

Y a pesar de la violencia también presente en el documental de la National Geographic, se vuelve pertinente desde el punto de vista de las mediciones y la biomecánica (movimiento y energía asociado con organismos vivos, o más simplemente, modelos matemáticos en un contexto biológico). La directora científica del proyecto fue Cinthya Bir, con doctorado en Biomecánica.

A través de la observación (y de la concentración, obviamente) en el documental se observan estos aspectos, desde el punto de vista matemático:

Resistencia: ¿Cuánto pueden tolerar los luchadores? Se entrenan alterando músculos, huesos y nervios, para soportar golpes que cuerpos normales no tolerarían.

 Geometría: La arena tiene 8 lados (es un octágono conocido como “La Jaula”).

Es, inteligentemente, usada como herramienta de pelea, donde se aprovecha la inercia y el momentum de los cuerpos propios y de los oponentes, para idear estrategias de manera similar a como se hace en el ajedrez; incluyendo técnicas como la llamada “Body Slam”, donde se golpea toda la espalda a través del apalancamiento

Mediciones: Como dicen en el documental, “usando un aparato híbrido triple antropomórfico: una bolsa de arena de 150 mil dólares, un maniquí para pruebas de impacto”, diseñado para soportar impactos repetidos a 56 km/h, en pruebas de coches.

Fuerzas: Medidas en kg-f (kilogramo fuerza), demuestran la contundencia de puños y patadas, por ejemplo de Bas Rutten ya que su puñetazo es de 423 kg-f, y de Randy Couture porque cuando lo midieron mientras hacía “Ground and Pound” fue de 910 kg-f. Y en la técnica conocida como “Body Slam” hasta 1080 kg-f (más de una tonelada de fuerza) soportada a lo largo de la espalda.

Una particularidad que se vio es que sin guantes el golpe era más  poderoso que con guantes de MMA o de boxeo.

Palancas: El término apalancamiento sirve para describir el hecho de usar la fuerza del oponente para derribarlo alterando otro concepto conocido como “centro de gravedad” y/o usar la fuerza propia para golpearlo con ayuda de otro concepto conocido como “gravedad”.

También se observa otro concepto en relación con la inercia conocido como “ventaja mecánica”: usar toda la extensión de las extremidades superiores para aumentar la contundencia del golpe.

 Energía: A través de conceptos como el “eslabonamiento cinético”, encadenar energías desde los pies hasta el puño (o el codo) y que podría medirse (en joules, ergios o calorías).

Índice VC: “Criterio Viscoso”; en inglés “Viscous Criterion” y en estos experimentos lo usaron para medir los daños a los órganos por debajo de la caja torácica. En pruebas en choques de autos, un índice VC por encima de 1,0 se considera dañino para el cuerpo humano y el diseño del auto es inadecuado para proteger a sus ocupantes. Los luchadores de MMA son capaces de subir este índice VC hasta 2,1 en sus patadas, que ocasionarían lesiones en los músculos del corazón sino se entrenaran para soportar dichos golpes.

Aceleración angular: Medida en radianes por segundo, proporciona información sobre movimientos de pies y brazos al golpear. Se debe tener siempre presente que ‘Pi’ radianes son equivalentes a 180° (es más cotidiano medir los ángulos en grados).

Deflexión: Medida en centímetros, indicando ¿Cuánto se deforma el cuerpo con cada golpe? Usada para medir la alteración en la caja torácica debido a los golpes. La medían en milímetros y centímetros. Se relaciona con el Índice VC.

Valor HIC: “Criterio de Lesión a la Cabeza” (en inglés “Head Injury Criterion”) mide parámetros de conmoción. Desde la medicina, se sabe que si el valor HIC es mayor a 250, se causa K.O. (Knock Out) o “Fuera de Combate”. Para Tito Ortiz midieron un HIC de 299, y para Bas Rutten, de 391.

Aceleración y desaceleración: Cuando se dan golpes en la cabeza, el cerebro se acelera y desacelera rápidamente al interior del cráneo (se mueve periódicamente, como un péndulo, se podría decir).

Tiempos: Cuando nos indican que los combates no son de tres minutos como en el boxeo sino de cinco minutos, a cinco asaltos.

También aparecen otros conceptos como “nivel de ácido láctico”, “porcentajes”, y varios otros donde se indica que las mediciones tomadas desafían la lógica y a los científicos.

Y el documental termina con la expresión “mente de campeón”, una expresión que sería muy apropiada para empezar una discusión en clase de ética (se podría usar para canalizar un diálogo sobre superación personal).

A pesar de la violencia, el documental fue usado para observar (ligeramente) los detalles matemáticos de las Artes Marciales Mixtas (ambiente de la película “Warrior”) y que los estudiantes se den cuenta, una vez más, de la abundante aplicabilidad de las matemáticas. Y la advertencia final, tal y como lo indican a lo largo del documental: “No intenten esto en casa, todo fue hecho bajo estricta supervisión médica”.

Cubo Rubik

La solución de un cubo de Rubik 3x3x3, definida como restaurar cualquier cubo a su configuración original en la cual las seis caras tienen cada una de ellas el mismo color, es enormemente simplificada por el hecho de que el bloque central en cada cara no puede cambiar de posición. Con solo ver cada bloque central, sabemos de inmediato cuál era el orden original de los colores de un cubo, el orden al cual debe ser restaurado.

Existe una notación convencional, universalmente reconocida, para describir las operaciones llevadas a cabo con un cubo de Rubik 3x3x3. En contra de lo que pudiera creerse, esta notación no está basada en los colores de las caras de un cubo en su configuración original, ya que aunque todo cubo de Rubik requiere de seis colores diferentes para cada una de las caras, la distribución de los colores no sigue regla alguna, depende de cada fabricante aún suponiendo que se usen los mismos colores. Es por ello que para trabajar con una notación sobre un cubo nos basamos en la orientación del mismo usando la siguiente convención de literales para describir cada una de las caras del cubo según lo estamos viendo al tenerlo en nuestras manos:

U ==> Up. La cara superior del cubo.
F ==> Front. La cara frontal del cubo.
B ==> Back. La cara trasera del cubo.
R ==> Right. La cara derecha del cubo.
L ==> Left. La cara izquierda del cubo.
D ==> Down. La cara inferior del cubo

Ahora bien, estas mismas letras se utilizan para denotar las rotaciones dadas a cada cara del cubo. Una letra sencilla indica una rotación de 90 grados en sentido de las manecillas del reloj de la cara a la cual hace referencia. Así, la letra U sola indica que la cara superior del cubo se ha de girar 90 grados en sentido de las manecillas del reloj, mientras que la letra R sola indica que la cara que estamos viendo hacia la derecha se ha de girar 90 grados hacia la derecha.

Para indicar una operación inversa, en sentido contrario a las manecillas del reloj, utilizamos un superscrito de -1 tal y como se acostumbra en el lenguaje de la simetría. Así, la letra sencilla U^-1indica una rotación de 90 grados de la cara superior del cubo en sentido contrario de las manecillas del reloj.

Pero en lo que realmente estamos interesados es en secuencias de operaciones, esas secuencias de operaciones que “descomponen” al cubo. Se ha adoptado la convención de que una secuencia de operaciones sea listada de izquierda a derecha, tal y como lo hemos venido haciendo en nuestro lenguaje de la simetría al llevar a cabo operaciones binarias. De este modo, la secuencia:

F ○ U

abreviada simplemente como la secuencia FU, nos dice "girar la cara frontal del cubo 90 grados en sentido de las manecillas del reloj, y tras esto girar la cara superior del cubo 90 grados en sentido de las manecillas del reloj".

Del mismo modo, una secuencia más elaborada de operaciones sobre el cubo de Rubik:

F ○ U ○ R^-1 ○ F^-1 ○ U ○ F^-1

abreviada simplemente como:

FUR^-1F^-1UF^-1

nos va diciendo “empezar aplicando a la cara frontal del cubo una rotación de 90 grados en sentido de las manecillas del reloj, y tras esto aplicar una rotación de 90 grados en sentido de las manecillas del reloj a la cara superior, tras lo cual se aplica una rotación de 90 grados en sentido contrario a las manecillas del reloj a la cara derecha, etc.”

Esta convención nos permite ir anotando en orden todas las operaciones que le vayamos aplicando a un cubo que tengamos en nuestras manos, y además de permitirnos tener un registro de lo que hemos hecho, nos permite reconstituír fácilmente el cubo a su condición original porque todo lo que tenemos que hacer es aplicar la misma secuencia de operaciones en orden inverso.

El cubo de Rubik, aparte del entretenimiento de cientos de horas que puede proporcionar a los adictos a este tipo de pasatiempo y el enorme valor educativo que tiene para ayudar al individuo a desarrollar una intuición tri-dimensional proporcionándole al mismo tiempo una enorme confianza sobre muchos tópicos de la teoría de grupos que anteriormente parecían cosas demasiado abstractas sin aplicación alguna, tiene una razón por la cual se le ha incluído aquí, y ésta es su capacidad para ayudar a entender la naturaleza real de los procesos conjugados. Cualquier secuencia de tres procesos X, Y y Z en donde el último proceso sea el inverso del primero proceso, o sea Z=X^-1, es conocido como un proceso conjugado. Precisamente una de las cosas que pueden suscitar muchas dudas a los novatos en la teoría de grupos es la siguiente operación conjugada:

g ○ P ○ g^-1

o lo que es lo mismo:

g^-1 ○ P ○ g

A primera vista, este proceso conjugado puede despertar la idea de que su único efecto real es llevar a cabo la operación P; porque si se efectúa la operación g y tras esto se efectúa la operación P y tras esto se efectúa la operación g^-1 (que es el inverso de g), entonces tomando en cuenta que:

g ○ g^-1 = g^-1 ○ g = I

ingenuamente se puede suponer que lo único que se ha hecho es deshacer el efecto de la operación gcon su inverso g^-1, dejando a P como la única operación efectiva, o sea:

g ○ P ○ g^-1 = g^-1 ○ P ○ g = P

Sin embargo, esto no es así. Cualquiera que tenga duda de esto, todo lo que tiene que hacer es tomar un cubo de Rubik en su configuración original, y aplicar una operación conjugada tal como:

U ○ F ○ U^-1

la cual consiste en girar la cara superior 90 grados en sentido de las manecillas del reloj (con la operación U), seguida por un giro de 90 grados en sentido de las manecillas del reloj de la cara frontal (con la operación F) seguida por un giro de 90 grados en sentido contrario de las manecillas del reloj de la cara superior (con la operación U^-1 ). La combinación resultante no será la misma que si simplemente se hubiera llevado a cabo la operación F, o sea girar la cara frontal 90 grados en sentido de las manecillas del reloj (quien no tenga un cubo Rubik a la mano, puede llevar a cabo esta operación usando alguno de los simuladores de los movimientos del cubo Rubik en sus computadoras de escritorio caseras). Para comodidad de quienes no tengan un cubo de Rubik a la mano, a continuación se llevarán a cabo estas operaciones utilizando el prorama Rubik.exe descrito anteriormente, con el cual partiendo de un cubo de Rubik en su configuración inicial:

le podemos aplicar una rotación de 90 grados en sentido de las manecillas del reloj a la cara superior (operación U) con el botón Ucw (Up clockwise). A continuación tenemos el aspecto que presenta el cubo al momento de estarse llevando a cabo esta operación:

Tras esto, podemos aplicar una rotación de 90 grados en sentido de las manecillas del reloj a la cara frontal (operación F) con el botón Fcw (Front clockwise). A continuación tenemos el aspecto que presenta el cubo al momento de estarse llevando a cabo esta operación:

Por último, aplicamos una rotación de 90 grados en sentido contrario de las manecillas del reloj a la cara superior (operación U^-1) con el botón Uccw (Up counter-clockwise). A continuación tenemos el aspecto que presenta el cubo al momento en que se está terminando de llevar a cabo esta operación:

Ahora veamos lo que tendríamos si, partiendo de la configuración inicial de este cubo, le hubiésemos aplicado únicamente la operación F, una rotación de 90 grados en sentido de las manecillas del reloj de la cara frontal:

De este modo, el cubo de Rubik tal vez sea uno de los mejores maestros prácticos en la teoría de grupos que estudiante alguno pueda encontrar (sin demérito para muchos excelentes maestros universitarios que frecuentemente batallan para encontrar ejemplos ilustrativos que permitan al estudiante aprender y comprender el verdadero espíritu que está detrás de los conceptos abstractos que se le están enseñando).

Las enseñanzas del cubo de Rubik van mucho más lejos de lo que aquí se ha bosquejado. El notable matemático y profesor de ingeniería eléctrica Solomon W. Golomb (ampliamente conocido por ser el inventor del famoso juego polyomino que sirvió a su vez de inspiración para el juego Tetris, además de demostrar poseer un cociente intelectual IQ de 176 en el examen Mega IQ Power que originalmente apareció en la revista Omni) ha hecho hincapié en el hecho de que muchas partículas elementales de la física subatómica (como los quarks, los baryones y los anti-baryones) tienen su contraparte precisamente en el cubo de Rubik 3x3x3, lo cual sobresale al establecer los isomorfismos matemáticos entre los subgrupos del cubo de Rubik y las grupos de los cuales forman parte estas partículas. ¿Es esto algo meramente accidental, o tiene significancia de enorme importancia para los desarrollos posteriores que pueda tener la física en los años que habrán de venir?
EL cubo Rubik

Creado en 1974 por Erno Rubik, un escultor y profesor de arquitectura húngaro, el cubo de Rubik saltó a la fama en 1980 cuando la locura del cubo atrapó a muchos entusiastas alrededor del mundo, y el cual para 1982 había sido vendido en más de 100 millones de cubos, convirtiéndose en uno de los juguetes más vendidos de todos los tiempos. Sin embargo, pese a que ha estado con nosotros por más de tres décadas, y pese a los enormes avances que ha habido en los campos de las ciencias computacionales y las matemáticas, el cubo de Rubik aún guarda muchos secretos. Apenas en el mes de julio de 2007 los científicos en ciencias computacionales Dan Kunkle y Geene Cooperman lograron probar que cualquier configuración posible del cubo de Rubik puede ser resuelta en 26 pasos, auxiliados para su descubrimiento por una supercomputadora pero también por matemática astuta, lo cual fue indispensable considerando que hay

o bien:
43,000,000,000,000,000,000

SKATE

El skate tiene sus matematicas, yan que necesita tener su ciencia.

El skate  es una serie de trucos, la patineta que angulos o que formas o ejercicios matematicos plantearemos para conocer el skate desde otro punto de vista y saber sus secretos para aprender a montar y aprender un poco la matemática, que es el skate cada una de las figuras que nos ofrece el skate  y tomar referencias matematicas desde el calculo, esto va desde el angulo de tu pie, la fuerzza que se le imparte, hasta la manera de caerlo. 

Es el truco básico del skateboard, de él derivan casi todos los demás. Consiste en saltar con la tabla sin tomarla con las manos. Para realizarlo se siguen los siguientes pasos:

• Se coloca un pie más o menos en el medio de la tabla y el otro en la punta trasera o tail.
• Se toma impulso para saltar, se le da un golpe seco al tail (Al golpe seco también se le llama ¨pop¨) y se levanta el pie con que picas el tail (das un salto) y desliza el pie delantero que estaba en medio de la tabla a los tornillos delanteros (raspando), a la vez que saltas para elevar la patine-ta.
• Estando en el aire, se suben los pies, flexionando las rodillas si se quiere una altura mayor.
• Se aterriza en el suelo con las rodillas flexionadas para amortiguar la caída, tratando que la tabla caiga horizontalmente y absorbiendo el impacto.
• Para ganar confianza puede sujetarse de un baranda para mantener el equilibrio. Pero al raspar se tiene que hacer por la mitad de la tabla colocando el pie detrás de los tornillos delanteros. 
  

Trucos de piso, flatground o flip tricks

Los trucos de piso, flatground o flip tricks, son los mas practicados en la actualidad, son aquellos que se hacen sobre una superficie lisa y no necesitan mucho espacio, tales como el pogo, el railstand, o el street. Tambien el descktop esto necesita varios vectores para poder concluir un buen truco.

Trucos de lip, stall o encaje

Son los realizados en los bordes de las rampas. Los trucos de lip, stall o encaje consisten en colocarse en un borde de un quarter pipe, un half pipe una piscina o un bowl. Básicamente consisten en subir una parte de la tabla o realizar algún tipo de plant en el borde de dichos objetos.

Por ejemplo están el nosestall que consiste en clavar el nose de la tabla y mantener el equilibrio en esta posición, están los footplants que consisten en pararse en la orilla del quarterpipe/bowl como el boneless, que consiste en pararse en la orilla de el quarterpipe o el bowl con un solo pie mientras el otro esta en la tabla, que mantienes detrás de ti. 

Estos trucos intentan mantener el equilibrio sobre el coping (sería como el grind que tienen los quarter pipes, los half pipes, etc. -son los que normalmente se ven en el skateboarding de rampa) en distintas posiciones tales como el axle stall (encajar ambos trucks), el rock 'n' roll (el medio de la tabla), el noseblunt (realizar un contragiro y equilibrar el nose con el truck casi verticalmente), el blunt (lo mismo solo que ejecutado con el tail), también cuentan los hand plants (mantenerse en equilibrio con una o dos manos en diferentes posiciones), entre otros.